Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+2，n∈N^*，a₁=1，b_n=a_n+1
（1）证明数列{b_n}为等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+1+1=3（a_n+1），又a₁=1，b_n=a_n+1，由此能证明数列{b_n}为首项为2，公比为3的等比数列．
（2）由（1）知a_n+1=2×3^n-1，由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵a_n+1=3a_n+2，n∈N^*，a₁=1，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），又a₁=1，b_n=a_n+1
∴

bn+1

bn

=

an+1+1

an+1

=3，
∴数列{b_n}为首项为2，公比为3的等比数列．
（2）解：由（1）知a_n+1=2×3^n-1，∴a_n=2×3^n-1-1．
∴S_n=2×（1+3+3²+…+3^n-1）-n
=2×

1×(1-3n)

1-3

-n
=3ⁿ-n-1．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．