Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4…），S_n为数列{b_n}的前n项和，且4S_n=b_nb_n+1，b₁=2（n=1，2，3…）．
（1）求数列{b_n}，{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=b_n•2

1

3an

+

2

3

，求数列{c_n}的前n项的和P_n；
（3）（选做）证明：对一切n∈N^*，有

∞

n=1

a_n²＜

7

6

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出b₁=2，b_n+1-b_n-1=4，（n≥2），当n为奇数时，b_n=2n；当n为偶数时，b_n=2n．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由已知，对n≥2有

1

nan+1

-

1

(n-1)an

=-（

1

n-1

-

1

n

），由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（3）当k≥2，ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-4)(3k-1)

＜

1

3

（

1

3k-4

-

1

3k-1

），由此能够证明对一切n∈N^*，有

∞

n=1

a_n²＜

7

6

．

解答： （1）解：由已知b₁=2，4S_n=b_nb_n+1，得b₂=4，
4S_n-1=b_n-1b_n，n≥2，4b_n=b_n（b_n+1-b_n-1），
由题意b_n≠0，即b_n+1-b_n-1=4，（n≥2），
当n为奇数时，b_n=2n；当n为偶数时，b_n=2n．
所以数列{a_n}的通项公式为b_n=2n，n∈N^*．…（4分）
（2）解：由已知，对n≥2有

1

an-1

=

n

(n-1)an

-

1

n-1

，
两边同除以n，整理得

1

nan+1

-

1

(n-1)an

=-（

1

n-1

-

1

n

）
于是利用叠加法可得

1

(n-1)an

-

1

a2

=-（1-

1

n-1

），n≥2，
∴

1

(n-1)an

=

3n-2

n-1

，
∴a_n=

1

3n-2

，n≥2，又n=1时也成立，
∴a_n=

1

3n-2

，n∈N^*．
∴c_n=2n•2ⁿ，P_n=4+（n-1）•2ⁿ⁺²．…（8分）
（3）证明：当k≥2，有ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-4)(3k-1)

＜

1

3

（

1

3k-4

-

1

3k-1

），
∴n≥2时，有

∞

n=1

a_n²＜1+

1

3

[（

1

2

-

1

5

）+（

1

5

-

1

8

）+…+（

1

3n-4

-

1

3n-1

）]
=1+

1

3

（

1

2

-

1

3n-1

）＜1+

1

6

=

7

6

．
当n=1时，也成立．
故对一切n∈N^*，有

∞

n=1

a_n²＜

7

6

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．