Question

若函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b（其中a，b不同时为0），则称函数y=f（x）为“准奇函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：
①函数f（x）=sinx+1是准奇函数；
②函数f（x）=x³是准奇函数；
③若准奇函数y=f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数；
④已知函数f（x）=x³-3x²+6x-2是准奇函数，则它的“中心点”为（1，2）；
其中正确的命题是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：由诱导公式，计算f（-x）+f（x），即可判断①；由f（-x）+f（x）=0，则a=b=0，不满足条件，即可判断②；
运用准奇函数的定义和奇函数的定义，即可判断③；运用准奇函数的定义，化简整理，由恒等式知识求出中心，即可判断④．

解答： 解：对于①，函数f（x）=sinx+1有f（-x）+f（x）=sin（-x）+1+sinx+1=-sinx+sinx+2=2，
则y=f（x）为“准奇函数”，且（0，1）为f（x）的“中心点”，则①正确；
对于②，函数f（x）=x³，由f（-x）+f（x）=0，则a=b=0，不满足条件，则②不正确；
对于③，若准奇函数y=f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），即有f（a+x）+f（a-x）=2f（a），
F（-x）+F（x）=f（a-x）-f（a）+f（x+a）-f（a）=2f（a）-2f（a）=0，则函数F（x）=f（x+a）-f（a）
为R上的奇函数，则③正确；
对于④，已知函数f（x）=x³-3x²+6x-2是准奇函数，则f（a+x）+f（a-x）
=（a+x）³-3（a+x）²+6（a+x）-2+（a-x）³-3（a-x）²+6（a-x）-2=（6a-6）x²+（2a³-6a²+12a-4）=2b，
即有6a-6=0且2a³-6a²+12a-4=2b，解得a=1，b=2，．则它的“中心点”为（1，2），则④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，主要考查函数的对称性，运用定义和掌握定义是迅速解题的关键．