Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=

2

，∠ACB=90°，AA₁=2

3

，D是A₁B₁中点．
（1）求证：C₁D⊥AB₁；
（2）若点F是BB₁上的动点，求FB₁的长度，使AB₁⊥面C₁DF．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）以C₁A₁为X轴，C₁B₁为Y轴，C₁C为Z轴建立空间直角坐标系，求得各点坐标，求得

AB1

，

C1D

的坐标，由

AB1

•

C1D

=0即可证明C₁D⊥AB₁；
（2）由（1）得AB₁⊥C₁D，只要AB₁⊥DF时，就会有AB₁⊥平面C₁DF，求出

DF

的坐标，由

AB1

•

DF

=2-2

3

z=0，即可求得F点坐标，从而求得FB₁的长度，使AB₁⊥面C₁DF．

解答： 证明：（1）以C₁A₁为X轴，C₁B₁为Y轴，C₁C为Z轴建立空间直角坐标系．
∴各点坐标为：C₁（0，0，0）C（0，0，2

3

）B₁（0，

2

，0）A₁（

2

，0，0）D（

2

2

，

2

2

，0），
A（

2

，0，2

3

）B（0，

2

，2

3

）F（0，

2

，z），
∴

AB1

=（-

2

，

2

，-2

3

），

C1D

=（

2

2

，

2

2

，0），
∴

AB1

•

C1D

=0，
∴C₁D⊥AB₁；
（2）∵

AB1

=（-

2

，

2

，-2

3

），
∴AB₁•C₁D=0，
∴AB₁⊥C₁D，
∴只要AB₁⊥DF时，就会有AB₁⊥平面C₁DF，
又∵

DF

=（-

2

2

，

2

2

，z），
∴

AB1

•

DF

=2-2

3

z=0，
∴当z=

3

3

时，AB₁⊥DF，
即：F点坐标为（0，

2

，

3

3

）时，会使得AB₁⊥平面C₁DF，
∴可解得：|FB₁|=

3

3

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间向量及其应用，考查了转化思想，属于中档题．