Question

已知数列{a_n}的通项公式a_n=2n（n+1），证明：

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

2

3

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：a_n=2n（n+1），可得：当n≥2时，

1

an-1

=

1

2n2+2n-1

＜

1

2n2+2n-4

=

1

6

(

1

n-1

-

1

n+2

)，利用“裂项求和”与“放缩法”即可得出．

解答： 证明：∵a_n=2n（n+1），
∴当n≥2时，

1

an-1

=

1

2n2+2n-1

＜

1

2n2+2n-4

=

1

6

(

1

n-1

-

1

n+2

)，
∴

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

1

3

+

1

6

[(1-

1

4

)+(

1

2

-

1

5

)+(

1

3

-

1

6

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

n-1

-

1

n+2

)]
=

1

3

+

1

6

(1+

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

-

1

n+2

)
＜

1

3

+

1

6

×(1+

1

2

+

1

3

)=

23

36

＜

24

36

=

2

3

（n∈N^*）．
∴

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

2

3

（n∈N^*）．

点评：本题考查了“裂项求和”与“放缩法”证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．