题目内容

已知点P在渐近线方程为4x±3y=0的双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上，其中F1，F2分别为其左、右焦点．若△PF1F2的面积为16且
PF1
•
PF2
=0，则a+b的值为
 
．
考点：双曲线的简单性质
专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：求出双曲线的渐近线方程，结合条件可得4a=3b，运用双曲线的定义和勾股定理，结合配方，再由三角形的面积公式，计算即可得到a，b，进而得到结论．
解答： 解：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±
b
a
x，
由渐近线方程为4x±3y=0，则4a=3b，c=
a2+b2
=
5
3
a，
设|PF1|=m，|PF2|=n，
由双曲线的定义可得|m-n|=2a，
由
PF1
•
PF2
=0，可得PF1⊥PF2，即m2+n2=4c2，
即（m-n）2+2mn=4c2，即有mn=2c2-2a2=
32
9
a2．
由△PF1F2的面积为16，即有mn=32，
即有a=3，b=4，a+b=7．
故答案为：7．
点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，运用双曲线的定义和向量垂直的条件及勾股定理是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
1
2
x2+kx+1，g（x）=（x+1）ln（x+1），h（x）=f（x）+g′（x）．
（Ⅰ）若函数g（x）的图象在原点处的切线l与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ）若h（x）在[0，2]上单调递减，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若对于?t∈[0，
e
-1]，总存在x1，x2∈（-1，4），且x1≠x2满f（xi）=g（t）（i=1，2），其中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围．
在边长为a的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A的距离大于a的概率是
 
．
若函数f（x）=2sin（2x+
π
6
）+a-1（a∈R）在区间[0，
π
2
]上有两个零点x1，x2（x1≠x2），则x1+x2-a的取值范围是（　　）
A、（
π
3
-1，
π
3
+1）
B、[
π
3
，
π
3
+1）
C、（
2π
3
-1，
2π
3
+1）
D、[
2π
3
，
2π
3
+1）
在△ABC中，a=3，c=3
3
，A=30°，求C及b．
已知函数f（x）=loga（ax-1）（a＞0，且a≠1）
（1）证明函数f（x）的图象在y轴的一侧
（2）设A（x1，y1），B（x2，y  2）（x1＜x2）图象上两点，证明直线AB的斜率大于0．
若双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左．右焦点分别为F1．F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（　　）
A、
2
B、
3
C、
3
2
4
D、
2
3
3
若关于x的不等式|mx-2|＜3的解集为{x|-
5
6
＜x＜
1
6
}，则m=
 
．
若函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b（其中a，b不同时为0），则称函数y=f（x）为“准奇函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：
①函数f（x）=sinx+1是准奇函数；
②函数f（x）=x3是准奇函数；
③若准奇函数y=f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数；
④已知函数f（x）=x3-3x2+6x-2是准奇函数，则它的“中心点”为（1，2）；
其中正确的命题是
 
．（写出所有正确命题的序号）

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