Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，S₂=4，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）从数列{a_n}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2ⁿ项，…，按原来顺序组成一个新数列{b_n}，记该数列的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得：

a1+a1+d=4 (a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)

，求出首项和公差，则等差数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入bn=a2n，然后利用分组求和及等比数列的通项公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得：

a1+a1+d=4 (a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)

，解得

a1=1 d=2

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
即a_n=2n-1；
（Ⅱ）由已知得，bn=a2n=2×2n-1=2n+1-1．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ⁺¹-1）
=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-n=

4(1-2n)

1-2

-n=2n+2-4-n．

点评：本题主要考查等比数列和等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和的求法，考查了化归与转化思想方法，是中档题．