Question

已知函数f（x）=-x²-x+ln（x+1）
（1）求函数y=f（x）的极值；
（2）若函数y=f（x）（x∈[0，2]）的图象与直线y=-

5

2

x+m恰有两个公共点，求实数m的取值范围；
（3）证明：ln（n+1）＜

2

12

+

3

22

+…+

n+1

n2

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出导数，由导数大于0，得增区间，导数小于0，得减区间，进而得到极值；
（2）函数y=f（x）（x∈[0，2]）的图象与直线y=-

5

2

x+m恰有两个公共点，即为方程ln（x+1）+

3

2

x-x²=m在[0，2]有两个不相等的实数根．令g（x）=ln（x+1）+

3

2

x-x²，运用导数求出在区间[0，2]上的最值，即可得到m的范围；
（3）由（1）当x＞-1时，f（x）在x=0处取得极大值0，也为最大值0，则ln（1+x）≤x+x²=x（1+x）
令x=

1

n

，得ln（1+

1

n

）=ln（1+n）-lnn＜

1+n

n2

，运用累加法，计算即可得证．

解答： （1）解：函数f（x）=-x²-x+ln（x+1）（x＞-1）的导数为：
f′（x）=-2x-1+

1

x+1

=

-x(2x+3)

x+1

，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）递减．
则f（x）在x=0处取得极大值，且为0，无极小值．
（2）解：函数y=f（x）（x∈[0，2]）的图象与直线y=-

5

2

x+m恰有两个公共点，
即为方程ln（x+1）+

3

2

x-x²=m在[0，2]有两个不相等的实数根．
令g（x）=ln（x+1）+

3

2

x-x²，g′（x）=

1

x+1

+

3

2

-2x=

-4x2-x+5

2(x+1)

，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；当1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减．
则g（x）在x=1时，取得最大值且为ln2+

1

2

，
由于g（0）=0，g（2）=ln3-1＞0，
则有ln3-1≤m＜ln2+

1

2

，
即有m的取值范围为[ln3-1，ln2+

1

2

）；
（3）证明：由（1）当x＞-1时，f（x）在x=0处取得极大值0，也为最大值0，
则ln（1+x）≤x+x²=x（1+x）
令x=

1

n

，得ln（1+

1

n

）=ln（1+n）-lnn＜

1+n

n2

，
∴ln2-ln1＜

2

1

，ln3-ln2＜

3

22

，…，
ln（1+n）-lnn＜

1+n

n2

，
上面n个不等式相加，得ln（1+n）-ln1＜

2

12

+

3

22

+…+

n+1

n2

（n∈N^*），
则有ln（n+1）＜

2

12

+

3

22

+…+

n+1

n2

（n∈N^*）．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值、最值，考查函数和方程的转化思想，考查不等式的证明方法：运用函数的最值，由裂项相加，考查运算能力，属于中档题．