Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

．
（Ⅰ）求∠C的大小；
（Ⅱ）若α=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：解三角形

专题：综合题,解三角形

分析：（Ⅰ）由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

，再根据二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后得到关于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）α=

3

，C=60°，BC上的高可以无限大，△ABC面积无最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵A+B+C=180°，
∴

A+B

2

=90°-

C

2

，
由4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

得：4cos²

C

2

-cos2C=

7

2

∴4cos²C-4cosC+1=0，
解得：cosC=

1

2

，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°；
（Ⅱ）α=

3

，C=60°，∴BC上的高可以无限大，
∴△ABC面积无最大值．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：诱导公式，二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．