Question

3．下表是某厂改造后产量x吨产品与相应生产能耗y（吨）的几组对照数据：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（2）已知技术改造前生产100吨该产品能耗90吨，试根据所求出的回归方程，预测生产100吨该产品的生产能耗比改造前降低多少吨？
附：$\widehat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数$\widehat{b}$的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出$\widehat{a}$的值，得到线性回归方程．
（2）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，即可估计生产100吨甲产品的生产能耗．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$═$\frac{1}{4}$（2.5+3+4+4.4）=3.5，
故$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{4}{{（x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}•\overline{y}）}{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}}$=0.7，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=0.35，
故$\widehat{y}$=0.7x+0.35…（8分）
（2）将x=100代入方程得：$\widehat{y}$=70.35，
生产100吨耗能70.35吨，降低90-70.35=19.65吨              …（12分）

点评 本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．