Question

15．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g_{\frac{1}{2}}}x，0＜x≤1}\\{-{x^2}+4x-3，x＞1}\end{array}$，函数g（x）=f（x）-kx有两个零点，则k的值是（　　）

• A． 0或$4-2\sqrt{3}$
• B． $4+2\sqrt{3}$
• C． 0
• D． $4±2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作出y=f（x）与y=kx的图象，令两图象有两个交点得出k的值．

解答 解：∵g（x）=f（x）-kx有两个零点，
∴y=f（x）与y=kx的图象有两个交点，
作出f（x）与y=kx的图象如图所示：

由图象可知当k=0或当直线y=kx与y=-x²+4x-3相切时，两图象有2个交点．
把y=kx代入y=-x²+4x-3得x²+（k-4）x+3=0，
令△=（k-4）²-12=0得k=4±2$\sqrt{3}$，
当k=4+2$\sqrt{3}$时，切点横坐标x=-$\sqrt{3}$，不符合题意；
∴k=4-2$\sqrt{3}$．
∴当k=0或k=4-2$\sqrt{3}$时，两图象有两个交点．
故选A．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．