Question

9．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{5}{9}$
• C． $\frac{7}{10}$
• D． $\frac{5}{8}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，设四棱锥P-ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，可得四棱锥的体积，再利用比例关系结合等积法求出多面体ABCDEF的体积，作出得到四棱锥P-DCFE的体积，由测度比为体积比得答案．

解答 解：如图，设四棱锥P-ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}Sh$．

∵PE=2EA，PF=2FB，
∴EF∥AB，则EF∥平面ABCD，且F到平面ABCD的距离为$\frac{1}{3}h$，
∴${V}_{F-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}S×\frac{1}{3}h=\frac{1}{18}Sh$，
${V}_{E-ACD}=\frac{1}{18}Sh$，${V}_{A-EFC}=\frac{2}{3}{V}_{A-ECD}=\frac{2}{3}{V}_{E-ACD}$=$\frac{1}{27}Sh$．
则多面体ABCDEF的体积为$\frac{4}{27}Sh$．
∴${V}_{P-DCFE}=\frac{1}{3}Sh-\frac{4}{27}Sh=\frac{5}{27}Sh$．
∴M在平面EFCD上方的概率是$\frac{\frac{5}{27}Sh}{\frac{1}{3}Sh}=\frac{5}{9}$．
故选：B．

点评 本题考查几何概型，考查多面体体积的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．