Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足${S_n}={（-1）^n}{a_n}+\frac{1}{2^n}$，设{S_n}的前n项和为T_n，T₂₀₁₇=$\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{2}）^{2016}]$．

Answer 1

分析 由S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-（-1）^n-1a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．n=2k（k∈N^*）为偶数时，a_2k-1=$\frac{1}{{2}^{2k}}$，n=2k+1为奇数时，2a_2k+1+a_2k=-$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$，可得a_2k=-$\frac{1}{{2}^{2k}}$．-a_2k-1+a_2k=-$\frac{2}{{2}^{2k}}$．再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：由S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-（-1）^n-1a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
n=2k（k∈N^*）为偶数时，a_2k-1=$\frac{1}{{2}^{2k}}$，
n=2k+1为奇数时，2a_2k+1+a_2k=-$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$，∴a_2k=-$\frac{1}{{2}^{2k}}$．
∴-a_2k-1+a_2k=-$\frac{2}{{2}^{2k}}$，
∴T₂₀₁₇=（-a₁+a₂-a₃+…-a₂₀₁₅+a₂₀₁₆-a₂₀₁₇）+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}}）$
=-2（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2018}}$）+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}}）$
=-2×$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{1}{4}）^{1009}]}{1-\frac{1}{4}}$+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{2017}]}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{2}）^{2016}]$．
故答案为：$\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{2}）^{2016}]$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．