Question

已知直线m：（a+2）x+（1-2a）y+4-3a=0．
（1）求证：直线m过定点M；
（2）求过M点且倾斜角是直线2x-y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程；
（3）过点M作直线n，与两负半轴围成△AOB，求△AOB面积的最小值及取得最小时时直线n的方程．

Answer 1

考点：恒过定点的直线,直线的倾斜角

专题：直线与圆

分析：（1）按照字母a集项，利用直线系方程，解方程组求出定点，说明直线m过定点M；
（2）设直线2x-y+1=0的倾斜角为α，则tanα=2，易求tan2α=-

4

3

，利用直线的点斜式可得所求直线的方程；
（3）直线n的斜率存在，设为k（k＜0），则过点M（-1，-2）的直线n的方程为：y+2=k（x+1），分别令x=0与y=0可求得OA与OB的长度，利用基本不等式可求得该直线的斜率k的值，从而可得直线n的方程．

解答： 解：（1）方程m：（a+2）x+（1-2a）y+4-3a=0可化为a（x-2y-3）+（2x+y+4）=0，
要使a有无穷多个解，必须有

x-2y-3=0 2x+y+4=0

，得

x=-1 y=-2

．
无论a取何值，（-1，-2）都满足方程，故直线m过定点M（-1，-2）．
（2）设直线2x-y+1=0的倾斜角为α，则tanα=2，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×2

1-22

=-

4

3

，
∴过M点且倾斜角是直线2x-y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程为：y-（-2）=-

4

3

[x-（-1）]，
整理得：4x+3y+10=0．
（3）依题意，直线n的斜率存在，设为k（k＜0），则过点M（-1，-2）的直线n的方程为：y+2=k（x+1），
令y=0，则x=

2

k

-1，OA长度为1-

2

k

；
令x=0，y=k-2，OB长度为2-k；
三角形面积S=

1

2

×（1-

2

k

）（2-k）
=

1

2

（2-k-

4

k

+2）≥

1

2

×（4+2

(-k)•(- 4 k )

）=4，当且仅当k=-2时取“=”，
故直线n的方程为：2x+y+4=0．

点评：本题考查直线的方程，着重考查过定点的直线，考查直线的点斜式方程的应用，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．