Question

设函数f（x）=

4+x2

4-x2

．
（1）求f（x）的定义域，并判断f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（

2

x

）=-f（2x）．

Answer 1

考点：有理数指数幂的化简求值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由4-x²≠0，解得x≠±2．即可得出函数的定义域，判定f（-x）与±f（x）的关系即可得出．
（2）分别计算f（

2

x

），-f（2x）即可证明．

解答： （1）解：由4-x²≠0，解得x≠±2．
∴f（x）的定义域是{x|x∈R，且x≠±2}，
∵f（-x）=

4+(-x)2

4-(-x)2

=

4+x2

4-x2

=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（2）证明：f(

2

x

)=

4+( 2 x )2

4-( 2 x )2

=

x2+1

x2-1

，
-f（2x）=-

4+(2x)2

4-(2x)2

=

x2+1

x2-1

，
∴f（

2

x

）=-f（2x）．

点评：本题考查了函数的奇偶性、定义域、函数值的计算，考查了计算能力，属于基础题．