Question

已知函数f（x）=

x

1+x2

．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，1）上是增函数，而在区间（1，+∞）是减函数；
（3）求函数f（x）的最大值和最上值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先判断函数的定义域为R，然后利用奇偶函数的定义，证明f（-x）=-f（x）．
（2）利用导数进行判断，也可以利用定义直接证明；
（3）借助基本不等式进行求解．

解答： 解：（1）由已知，f（x）的定义域为R，关于原点对称，
并且f（-x）=-

x

(-x)2+1

=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
（2）因函数f（x）=

x

1+x2

．
所以f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（3）f（x）=

x

1+x2

=

1

1 x +x

，
当x＞0时，f（x）=

x

1+x2

=

1

1 x +x

∈(0，

1

2

]，
当x≤0时，f（x）=

x

1+x2

∈[-

1

2

，0]，
所以函数f（x）的最小值是-

1

2

，最大值是

1

2

．

点评：本题考查了函数奇偶性的证明；单调性的证明，最值的求法，在明确定义域的前提下，再利用定义证明．