Question

以下四个命题中，正确的是（　　）

• A、△ABC为直角三角形的充要条件是

  AB

  •

  AC

  =0
• B、若

  OP

  =

  1

  2

  OA

  +

  1

  3

  OB

  ，则P、A、B三点共线
• C、若{

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }为空间的一个基底，则{

  a

  +

  b

  ，

  b

  +

  c

  ，

  c

  +

  a

  }也构成空间的一个基底
• D、|(

  a

  •

  b

  )•

  c

  |=|

  a

  |•|

  b

  |•|

  c

  |

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：平面向量及应用,空间向量及应用

分析：A．由

AB

•

AC

=0，利用数量积定义可得∠BAC=90°，即△ABC为直角三角形，反之不成立；
B．由

OP

=

1

2

OA

+

1

3

OB

，可知

1

2

+

1

3

≠1，利用向量共线定理即可判断出；
C．利用基底的意义即可判断出；
D．左边=|

a

| |

b

| |cos＜

a

，

b

＞| |

c

|，右边=|

a

| |

b

| |

c

|，即可判断出．

解答： 解：A．由

AB

•

AC

=0⇒|

AB

| |

AC

|cos∠BAC=0⇒cos∠BAC=0⇒∠BAC=90°，即△ABC为直角三角形．
反之不成立，因此

AB

•

AC

=0是△ABC为直角三角形的充分不必要条件，因此不正确；
B．∵

OP

=

1

2

OA

+

1

3

OB

，可知

1

2

+

1

3

≠1，因此P、A、B三点不共线，因此不正确；
C．假设存在实数满足

c

+

a

=λ(

a

+

b

)+μ(

b

+

c

)，化为(λ-1)

a

+(λ+μ)

b

+(μ-1)

c

=

0

，
∵{

a

，

b

，

c

}为空间的一个基底，∴

λ-1=0 λ+μ=0 μ-1=0

，此方程组无解，因此假设不成立．
∴{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}也构成空间的一个基底，因此正确．
D．左边=|

a

| |

b

| |cos＜

a

，

b

＞| |

c

|，右边=|

a

| |

b

| |

c

|，
因此左边=右边不恒成立，故不正确．
综上可知：只有D正确．
故选：D．

点评：本题综合考查了数量积的意义、空间向量的基底、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．