Question

下列说法：其中正确的个数是

 

．
①命题“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；
②关于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，则a的取值范围是a＜3；
③对于函数f(x)=

ax

1+|x|

(a∈R且a≠0)，则有当a=1时，?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①利用命题的否定即可判断出；
②令sin²x=t∈（0，1]，f（t）=t+

2

t

．求出f（t）的最小值即可；
③对于函数f(x)=

ax

1+|x|

(a∈R且a≠0)，当a=1时，假设k∈（1，+∞），则g（x）=

x

1+|x|

-kx为R上的奇函数．利用奇函数的性质和导数研究g（x）在x＞0时的单调性即可．

解答： 解：①命题“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”，正确；
②令sin²x=t∈（0，1]，f（t）=t+

2

t

．
则关于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立?a＜f（t）_min．
由f′(t)=1-

2

t2

=

t2-2

t2

＜0，可知函数f（t）在（0，1]上单调递减，
∴f（t）_min=f（1）=3．
∴a的取值范围是a＜3．
因此正确．
③对于函数f(x)=

ax

1+|x|

(a∈R且a≠0)，当a=1时，假设k∈（1，+∞），
则g（x）=

x

1+|x|

-kx为R上的奇函数．
当x=0时，g（0）=0，可知0是函数g（x）的一个零点．
当x＞0时，g（x）=

x

1+x

-kx，则g′(x)=

1

(1+x)2

-k＜0，
∴函数g（x）在0，+∞）上单调递减，又函数g（x）在x=0处连续，∴g（x）＜g（0）=0．
∴当x＞0时，函数g（x）不存在零点．
由奇函数的性质可知：当x＜0时，函数g（x）也不存在零点．
综上可知：函数g（x）有且仅有一个零点．
因此③不正确．
综上可知：只有①②正确．
故答案为：2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的零点、最小值等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．