题目内容
设公差不为零的等差数列{an}的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足
=-
，S7=7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）试求所有的正整数m，使得
为数列{an}中的项．
| a2a3 |
| a1 |
| 5 |
| 4 |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）试求所有的正整数m，使得
| am+1am+2 |
| am |
考点：数列的应用
专题：压轴题,等差数列与等比数列
分析：（1）先确定a4=1，再根据
=-
得d=3或d=
，结合数列{an}的各项均为整数，求出公差，即可求数列{an}的通项公式；
（2）根据
=
=am+9+
，an=3n-11=3（n-4）+1，可得
为数列{an}中的项，
必须是3的倍数，进而验证，可得所有的正整数m，使得
为数列{an}中的项．
| a2a3 |
| a1 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
（2）根据
| am+1am+2 |
| am |
| (am+3)(am+6) |
| am |
| 18 |
| am |
| am+1am+2 |
| am |
| 18 |
| am |
| am+1am+2 |
| am |
解答：
解：（1）因为{an}是等差数列，且S7=7，而S7=
=7a4，于是a4=1．…（2分）
设{an}的公差为d，则由
=-
得
=-
，
化简得8d2-27d+9=0，即（d-3）（8d-3）=0，解得d=3或d=
，
但若d=
，由a4=1知不满足“数列{an}的各项均为整数”，故d=3．…（5分）
于是an=a4+（n-4）d=3n-11．…（7分）
（2）因为
=
=am+9+
，an=3n-11=3（n-4）+1，…（10分）
所以要使
为数列{an}中的项，
必须是3的倍数，
于是am在±1，±2，±3，±6中取值，
但由于am-1是3的倍数，所以am=1或am=-2．
由am=1得m=4；由am=-2得m=3． …（13分）
当m=4时，
=
=a13；
当m=3时，
=
=a3．
所以所求m的值为3和4．…（16分）
| 7(a1+a7) |
| 2 |
设{an}的公差为d，则由
| a2a3 |
| a1 |
| 5 |
| 4 |
| (1-2d)(1-d) |
| 1-3d |
| 5 |
| 4 |
化简得8d2-27d+9=0，即（d-3）（8d-3）=0，解得d=3或d=
| 3 |
| 8 |
但若d=
| 3 |
| 8 |
于是an=a4+（n-4）d=3n-11．…（7分）
（2）因为
| am+1am+2 |
| am |
| (am+3)(am+6) |
| am |
| 18 |
| am |
所以要使
| am+1am+2 |
| am |
| 18 |
| am |
于是am在±1，±2，±3，±6中取值，
但由于am-1是3的倍数，所以am=1或am=-2．
由am=1得m=4；由am=-2得m=3． …（13分）
当m=4时，
| am+1am+2 |
| am |
| 4×7 |
| 1 |
当m=3时，
| am+1am+2 |
| am |
| 1×4 |
| -2 |
所以所求m的值为3和4．…（16分）
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和的公式，解题的重点是要熟练掌握基本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力．
练习册系列答案
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棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）
A、
| ||
| B、4 | ||
C、
| ||
| D、3 |
以下四个命题中，正确的是（ ）
A、△ABC为直角三角形的充要条件是
| ||||||||||||||||||
B、若
| ||||||||||||||||||
C、若{
| ||||||||||||||||||
D、|(
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