Question

设函数f（x）=x³-4x+a（a＞0），若f（x）的三个零点分别为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则（　　）

• A、x₁＞-2
• B、x₁²+x₂²＜

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• C、x₃＞2
• D、x₂²+x₃²＜

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  3

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．

解答： 解：∵函数f （x）=x³-4x+a，a＞0，∴f′（x）=3x²-4．
令f′（x）=0，得 x=±

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3

．
当x＜-

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3

时，f′（x）＞0；在（-

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，

2 3

3

）上，f′（x）＜0；
在（

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3

，+∞）上，f′（x）＞0．
故函数在（-∞，-

2 3

3

）上是增函数，在（-

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，

2 3

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）上是减函数，在（

2 3

3

，+∞）上是增函数．
故f（-

2 3

3

）是极大值，f（

2 3

3

）是极小值．
再由f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，f（0）=a＞0，
可得 x₁＜-

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3

＜0＜x₂＜

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＜x₃，又f（2）=a＞0，∴x₃＜2，
∴x22+x32＜(

2 3

3

)2+2²=

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3

，
故选：D．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．