Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的半焦距为c，直线l过A（a，0），B（0，b）两点，若原点O到l的距离为

3

4

c，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2 3

  3

  或2
• B、2
• C、

  2

  或

  2 3

  3

• D、

  2 3

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为

3

4

c，可得

ab

a2+b2

=

3

4

c，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：由题设条件知直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即：ay+bx-ab=0
∵原点O到直线l的距离为

3

4

c，∴

ab

a2+b2

=

3

4

c，
又c²=a²+b²∴，
从而16a²（c²-a²）=3c⁴，
∵a＞0，∴3e⁴-16e²+16=0解得：e²=4或e²=

4

3

，
∵0＜a＜b，∴e²＞2
∴e²=4，
又e＞1
∴此双曲线的离心率为2．
故选：B．

点评：本题考查双曲线性质．主要考查求双曲线的离心率常用的方法，注意椭圆中三参数的关系是：a²=b²+c²双曲线中三参数的关系：c²=b²+a²的不同之处．