Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）a₁=1，a_n+1=2a_n+1⇒a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的定义即可证明数列{a_n+1}是等比数列，并求得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2ⁿ-1，易得

1

2n-1

＜

1

2n-1

（n≥2），于是

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2（1-

1

2n-1

）＜2．

解答： 证明：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，…3分
∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^_*）．…5分
（Ⅱ）∵n≥2时（2ⁿ-1）-2^n-1=2^n-1＞0，即2ⁿ-1＞2^n-1，
∴

1

2n-1

＜

1

2n-1

（n≥2），…9分
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2（1-

1

2n-1

）＜2．…12分

点评：本题考查等比关系的确定，突出考查放缩法的应用，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．