题目内容

已知函数f（x）=sin（2x+
π
6
）+cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b2+c2=4a2．若f（A）=
3
2
，且c＞b，求角A，B，C的值．
考点：正弦函数的图象,余弦定理
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）正弦函数的正周期为
2π
ω
，对称轴为ωx+φ=
π
2
+kπ，求出相应的x；
（2）由f（A）=
3
2
求出A的值，再由余弦定理得a、b、c的关系，再由正弦定理求出角A，B，C的值．
解答： 解：（1）f（x）=sin（2x+
π
6
）+cos2x
=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x+cos2x
=
3
2
sin2x+
3
2
cos2x=
3
sin（2x+
π
3
），即f（x）=
3
sin（2x+
π
3
），
∴函数f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π，
由2x+
π
3
=kπ+
π
2
可得x=
kπ
2
+
π
12
，
∴对称轴方程为得x=
kπ
2
+
π
12
，k∈Z．
（2）由（1）知f（A）=
3
sin（2A+
π
3
）=
3
2
，
∴sin（2A+
π
3
）=
3
2
，
∵A∈（0，π），∴2A+
π
3
=
2π
3
，∴A=
π
6

∴由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，
∴b2+c2=a2+2bccosA=a2+
3
bc，
又∵b2+c2=4a2，∴4a2=a2+
3
bc，
3
a2=bc，由正弦定理得
3
(sinA)2=sinBsinC，
∴sinBsin(
5π
6
-B)=
3
4
，
1
2
sinBcosB+
3
2
(sinB)2=
3
4
，
1
4
sin2B+
3
2
1-cos2B
2
=
3
4
，
得tan2B=
3
，∵0＜B＜
5π
6
，∴2B=
π
3
，或2B=
4π
3
，即B=
π
6
或B=
2π
3
，又∵c＞b，∴C＞B，
∴A=
π
6
，B=
π
6
，C=
2π
3
．
点评：本题考查三角函数的最小正周期，对称轴方程，正弦理，余弦理，三角形中大边对大角等知识点．属于中等题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=f（x）与函数y=cosx有相同的奇偶性，与函数y=tanx有相同的周期，在[
π
2
，π]上与函数y=sinx有相同的图象，
①f（
4π
3
）=-
3
2
；
②函数y=f（x）的图象的对称轴为x=
kπ
2
，k∈Z；
③函数y=f（x）值域是[-1，1]；
④函数y=f（x）的单调增区间是[kπ，kπ+
π
2
]，k∈Z．
则以上说法正确的序号是
 
．
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．
（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜2．
已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），当a，b∈（-∞，0）时总有
f(a)-f(b)
a-b
＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是
 
．
设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x，已知a=f（4），b=f （-
1
5
），c=f （
1
3
），则a，b，c的大小关系为
 
．（用“＜”连结）
设l，m，n表示三条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：
①若l∥m，l⊥α，则m⊥α；
②若m⊆β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；
③若l⊥α，α⊥β，则l∥β；
④若l⊥α，α∥β，m?β，则l⊥m．
其中真命题为（　　）
A、①②④B、①②③
C、①③D、①②③④
已知函数f（x）=2sin（π-x）•cosx+sin2x-cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调区间．
（Ⅱ）若函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于原点对称，求实数m的最小值．
已知函数f（x）=loga
1+x
1-x
（a＞0，a≠1）
（1）求定义域．
（2）判断奇偶性并证明．
（3）当a＞1时，函数f（x）在定义域上是
 
（填增减性，不必说明理由．）
（4）当0＜a＜1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．
计算log2sin
π
12
-log 
1
2
cos
π
12
的值为
 
．

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