Question

 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

），离心率为

3

2

，又椭圆内接四边形ABCD（点A、B、C、D在椭圆上）的对角线AC，BD相交于点P（1，

1

4

），且

AP

=2

PC

，

BP

=2

PD

．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线AB的斜率．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,直线的一般式方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

），离心率为

3

2

，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）确定C的坐标，代入椭圆方程，整理可得x₁+y₁=-

1

8

，同理可得x₂+y₂=-

1

8

，两试相减，即可求直线AB的斜率．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

），离心率为

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

，

1

a2

+

3 4

b2

=1
∴a=2，b=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

AP

=2

PC

，∴C（

3-x1

2

，

3-4y1

8

），
代入椭圆方程，整理可得x₁+y₁=-

1

8

①，
同理可得x₂+y₂=-

1

8

②，
①-②，可得直线AB的斜率为-1．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．