Question

已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4（a≥1），g（x）=

2x

x+1

．
（1）若f（x）在x∈[1，3]上有零点，求实数a的取值范围；
（2）求函数y=f（x）的最小值m（a）及g（x）的值域；
（3）若对任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）分离参数，利用基本不等式，结合函数的单调性，即可求实数a的取值范围；
（2）根据二次函数的图象和性质，先将函数f（x）的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间[0，2]的位置关系，可求出函数y=f（x）的最小值m（a），利用基本不等式，结合函数的单调性，求出g（x）的值域；
（3）根据函数的单调性求出函数f（x）的最小值和g（x）的最大值，然后使f（x）_min＞g（x）_max，建立关系式，解之即可求出a的范围．

解答： 解：（1）由x²-2ax+4=0，可得2a=x+

4

x

，
∵x∈[1，3]，
∴2a∈[2，5]，
∴a∈[1，2.5]；
（2）由f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²，
得m（a）=

4-a2，1≤a＜2 8-4a，a≥2

，
g（x）=（x+1）+

1

x+1

-2，当x∈[0，2]时，x+1∈[1，3]，
又g（x）在区间[0，2]上单调递增，故g（x）∈[0，

4

3

]．
（3）由题设，得f（x）_min＞g（x）_max，故

1≤a＜2 4-a2＞ 4 3

或

a≥2 8-4a＞ 4 3

解得1≤a＜

2 6

3

为所求的范围．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，函数恒成立问题，以及函数单调性的判定，属于中档题．