题目内容
11．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足a2+c2=b2+ac．（1）求∠B的大小；
（2）若b=$\sqrt{7}$，a+c=4，求△ABC的面积．
分析 （1）由已知即余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），即可求B的值．
（2）根据余弦定理将b=$\sqrt{7}$，a+c=4代入求出ac的值，再由三角形的面积公式可求得结果．
解答 解：（1）∵a2+c2=b2+ac．
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）在△ABC中，由余弦定理得：
b2=a2+c2-2ac•cosB=（a+c）2-2ac-2ac•cosB
将b=$\sqrt{7}$，a+c=4代入整理得ac=3
故S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3}{2}$sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
点评 本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，在求值时经常用到边和角的相互转化，属于基本知识的考查．
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