Question

19．已知数列{a_n}满足a_n+1=5a_n-6a_n-1（n≥2），且a₁=1，a₂=4，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 a_n+1=5a_n-6a_n-1（n≥2），变形为a_n+1-3a_n=2（a_n-3a_n-1），利用等比数列的通项公式可得，a_n+1-3a_n=2^n-1．变形为${a}_{n+1}+{2}^{n}$=3$（{a}_{n}+{2}^{n-1}）$，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=5a_n-6a_n-1（n≥2），
∴a_n+1-3a_n=2（a_n-3a_n-1），
∴数列{a_n+1-3a_n}是等比数列，公比为2，首项为a₂-3a₁，即为1．
∴a_n+1-3a_n=2^n-1．
变形为${a}_{n+1}+{2}^{n}$=3$（{a}_{n}+{2}^{n-1}）$，
∴数列$\{{a}_{n}+{2}^{n-1}\}$是等比数列，首项为2，公比为3．
∴a_n+2^n-1=2×3^n-1，
化为a_n=2×3^n-1-2^n-1．

点评 本题考查了变形利用等比数列的通项公式及、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．