Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
（1）判断函数f（x）奇偶性；
（2）求证：f（x）在R上为增函数；
（3）若函数g（x）=f（x）-$\frac{{4}^{x}-m}{{2}^{x}+1}$在[-2，2]上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据奇偶性的定义得f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-2^x}{1+2^x}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），得出函数为奇函数；
（2）根据函数单调性的定义运用作差比较法证明单调性；
（3）运用分离参数法配方法求m=4^x-2^x+1的值域即可．

解答 解：（1）f（x）为奇函数，证明如下：
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-2^x}{1+2^x}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
所以，f（x）为R上的奇函数；
（2）f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{2^x+1}$，单调递增，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=2[$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$]
=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$＜0，
所以，f（x₁）＜f（x₂），
因此，f（x）为R上的增函数；
（3）g（x）=f（x）-$\frac{{4}^{x}-m}{{2}^{x}+1}$=$\frac{-4^x+2^x+m-1}{2^x+1}$，
要使得g（x）在[-2，2]上有零点，
则方程-4^x+2^x+m-1=0在[-2，2]有解，其中2x∈[$\frac{1}{4}$，4]，
分离m得，m=4^x-2^x+1=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$∈[$\frac{3}{4}$，13]，
因此，实数m的取值范围为[$\frac{3}{4}$，13]．

点评 本题主要考查了函数单调性与奇偶性的判断与证明，以及函数零点的确定，运用了作差比较法和等价转化的解题思想，属于中档题．