Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，3），C（5，6），若在以点C为圆心，r为半径的圆上存在不同的两点A，B，使得$\overrightarrow{PA}$-2$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，则r的取值范围为[$\frac{3}{5}$$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 求出|PC|=3$\sqrt{2}$，设PB=x，则3$\sqrt{2}$-r＜x≤3$\sqrt{2}$+r，由割线定理可得$\frac{2}{3}$x²=（3$\sqrt{2}$-r）（3$\sqrt{2}$+r）=18-r²，即可求出r的取值范围．

解答 解：∵点P（2，3），C（5，6），
∴|PC|=3$\sqrt{2}$，
设PB=x，则3$\sqrt{2}$-r＜x≤3$\sqrt{2}$+r，
∵向量$\overrightarrow{PA}$-2$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，
∴由割线定理可得$\frac{2}{3}$x²=（3$\sqrt{2}$-r）（3$\sqrt{2}$+r）=18-r²，
∴$\frac{2}{3}$（3$\sqrt{2}$-r）²＜18-r²≤$\frac{2}{3}$（3$\sqrt{2}$+r）²，
∴r的取值范围为r∈[$\frac{3}{5}$$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）．
故答案为：[$\frac{3}{5}$$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查圆的方程，考查割线定理，考查学生的计算能力，比较基础．