Question

6．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n为数列|a_n|的前n项和，且S_n与$\frac{1}{{a}_{n}}$的一个等比中项为n（n∈N^*），求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 根据所给的数列的首项和一个关于通项与n项和的关系，na_n-1=（n-2）a_n-2，（n-1）a_n-2=（n-3）a_n-3…5a₄=3a₃，4a₃=2a₂，3a₂=a₁，两边相乘并整理，得：n（n+1）a_n=2a₁，由此能够求出a_n．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，S_n为数列的前n项和，且S_n与$\frac{1}{{a}_{n}}$的一个等比中项为n，
∴S_n=n²a_n，S_n-1=（n-1）²a_n-1，
∴S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1=a_n
（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
∴na_n-1=（n-2）a_n-2
（n-1）a_n-2=（n-3）a_n-3
…
5a₄=3a₃，
4a₃=2a₂，
3a₂=a₁，
两边相乘：
3×4×5×…×（n-1）n（n+1）a_n=1×2×3×…×（n-3））（n-2））（n-1）a₁
n（n+1）a_n=2a₁，
∴a_n=$\frac{2{a}_{1}}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$．

点评 本题考查数列的及其应用，解题时要认真审题，熟练掌握公式的灵活运用，解题的关键是得到前n项和与通项之间的关系．