Question

在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c．
（1）若2a=b+c，sin²A=sinBsinC，试判断△ABC的形状；
（2）试比较a²+b²+c²与2（ab+bc+ca）的大小．

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：解三角形

分析：（1）首先根据正弦定理得出a²=bc，然后结合2a=b+c，得出b=c，a=b判断出三角形的形状；
（2）将要比较大小的两式作差后整理可得：a²+b²+c²-2（ab+bc+ac）=（a+b）（a-b-2c）+c²；①依题意知a+b＞c，a-b-2c＜0，利用不等式的性质即可得到答案．

解答： 解：（1）由正弦定理及sin²A=sinBsinC得a²=bc，又由2a=b+c得4a²=b²+2bc+c²，所以b²-2bc+c²=0，即（b-c）²=0，所以b=c．…（5分）
故a²=b²，即a=b，所以△ABC是等边三角形．…（7分）
（2）因为2（ab+bc+ca）-（a²+b²+c²）=（ab+ca-a²）+（ab+bc-b²）+（ca+bc-c²）=a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（a+b-c），…（10分）
因为a，b，c为△ABC的三边长，故a＞0，b＞0，c＞0，b+c-a＞0，a+c-b＞0，a+b-c＞0，
所以a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（a+b-c）＞0…（13分）
故a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）．…（14分）

点评：本题考查正弦定理，着重考查作差法、二次函数的配方法、放缩法的综合应用，考查转化思想与推理运算能力，属于难题．