Question

如图，正方体中ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为BB₁、D₁B₁中点．
（1）A₁D与面BDD₁所成角的正弦值；
（2）二面角A-B₁D₁-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：对于第（1）问，先作出线面角，再将此角放一个三角形中，只需解三角形即可；
对于第（2）问，根据二面角的定义，作出此二面角的平面角，再将此角放在一个三角形中，解此三角形即可．

解答： 解：（1）连结A₁F，则A₁F⊥B₁D₁，又由正方体的几何特征知A₁F⊥BB₁，
∴A₁F⊥平面BDD₁．
连结DF，则∠A₁DF为直线A₁D与平面BDD₁所成角，
在直角△A₁DF中，sin∠A₁DF=

A1F

A1D

=

1 2 B1D1

A1D

=

1

2

，
即A₁D与面BDD₁所成角的正弦值．
（2）连结AF，BF，AD₁，AB₁，CB₁，CD₁，
∵F为等腰△AB₁D₁和等腰△CB₁D₁的中点，∴B₁D₁⊥AF，且B₁D₁⊥CF，
∴∠AFC为二面角A-B₁D₁-C的平面角，
连结AC，设正方体的棱长为a，
则在△AFC中，由余弦定理得cos∠AFC=

AF2+CF2-AC2

2AF•CF

．
而AF=

AA 2 1 +A1F2

=

3 2

a=CF，AC=

2

a，
∴cos∠AFC=

3 2 a2+ 3 2 a2-2a2

2× 3 2 a2

=

1

3

，
即二面角A-B₁D₁-C的平面角的余弦值为

1

3

．

点评：本题考查了线面角的作法与求法，二面角的定义及二面角的求法，对于空间角的求法，一般步骤是：
（1）根据空间角的定义作出对应的平面角；
（2）将此平面角放在某一个三角形中，再解此三角形．
注意体会将空间角化平面角的解题意识．