Question

求函数f（x）=2^x+

1

2x

-1的值域并判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：由本题中函数的形式，可由基本不等式求出函数的最值，再由复合函数的单调性得出函数在（-∞，0）上的单调性．

解答： 解：f（x）=2^x+

1

2x

-1≥2

2x× 1 2x

-1=1，可得函数的值域是[1，+∞），
令t=2^x，则f（x）=t+

1

t

，
又2^x是增函数，f（x）=t+

1

t

在（0，1）上是减，在（1，+∞）上是增函数，
当x＜0时，2^x∈（0，1），
由复合函数单调性知，内增外减，函数f（x）=2^x+

1

2x

-1在（-∞，0）上是减函数．

点评：本题考查函数的值域的求法，及函数单调性的判断方法，复合函数单调性的判断规则对于由几个初等函数复合而成的函数的单调性判断很简便．