Question

定义在R上的函数f（x），满足对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）如果f（4）=1，f（x-1）＜2，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，试求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，推出f（-x）与f（x）的关系，即可判断判断函数f（x）的奇偶性；
（2）通过f（4）=1，求出f（8），化简f（x-1）＜2，利用f（x）在[0，+∞）上是增函数，以及函数的奇偶性，得到不等式，即可求实数x的取值范围．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=0；…（2分）
令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），…（4分）
即f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数…（6分）
（2）∵f（4）=1，∴f（8）=f（4）+f（4）=2，…（7分）
∴原不等式化为f（x-1）＜f（8）…（9分）
又f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（0）=0且f（x）是奇函数，…（10分）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．因此x-1＜8，…（12分）
∴x＜9．∴实数x的取值范围是（-∞，9）…（14分）

点评：本题考查抽象函数的应用，赋值法以及函数的奇偶性的应用，转化思想的应用，考查计算能力．