Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n-1+S_n+S_n+1=3n²+2（n≥2，n∈N⁺），
（1）若{a_n}是等差数列，求{a_n}的通项公式；
（2）若a₁=1，
①当a₂=1时，试求S₁₀₀；
②若数列{a_n}为递增数列，且S_3k=225，试求满足条件的所有正整数k的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a1+(2a1+d)+(3a1+3d)=3×22+2，（2a₁+d）+（3a₁+3d）+（4a₁+6d）=3×3²+2，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由已知得a_n+a_n+1+a_n+2=6n+3，n≥2，n∈N⁺），由此能求出S₁₀₀．
（3）设a₂=x，由S_n-1+S_n+S_n+1=3n²+2，得

a3=11-2x a1=x+4

，a_n+2-a_n-1=6，n≥3，n∈N⁺，由数列{a_n}为递增数列，得

7

3

＜x＜

11

3

，由此利用已知条件能求出满足条件的所有正整数k的值．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，
且S_n-1+S_n+S_n+1=3n²+2（n≥2，n∈N⁺），
∴a1+(2a1+d)+(3a1+3d)=3×22+2，①
（2a₁+d）+（3a₁+3d）+（4a₁+6d）=3×3²+2，②
联立①②，得：a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵S_n-1+S_n+S_n+1=3n²+2（n≥2，n∈N⁺），
∴S_n+S_n+1+S_n+2=3（n+1）²+2（n≥2，n∈N⁺），
∴a_n+a_n+1+a_n+2=6n+3，n≥2，n∈N⁺），
∴S₁₀₀=a₁+（a₂+a₃+a₄）+（a₅+a₆+a₇）+…+（a₉₈+a₉₉+a₁₀₀）
=1+6×

33

2

(2+98)+3×33
=10000．
（3）设a₂=x，由S_n-1+S_n+S_n+1=3n²+2，
得

S1+S2+S3=14 S2+S3+S4=29

，
∴

3a1+2a2+a3=14 3a1+3a2+2a3+a4=29

，
∴

a3=11-2x a4=x+4

，
又S_n+S_n+1+S_n+2=3（n+1）²+2（n≥2，n∈N⁺），
∴a_n+a_n+1+a_n+2=6n+3，n≥2，n∈N⁺，
a_n-1+a_n+a_n+1=6n-3，n≥3，n∈N⁺，
∴a_n+2-a_n-1=6，n≥3，n∈N⁺，
∴a₄=x+6，
∵数列{a_n}为递增数列，
∴a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，解得

7

3

＜x＜

11

3

，
由S_3k=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_2k-2+a_2k-1+a_2k）
=12-x+

1

2

[6•4+3+6(3k-2)+3](k-1)
=9k²-x+3=225，
∴9k²-222∈（

7

3

，

11

3

），
解得k=5．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前100项和的求法，考查正整数值的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．