Question

已知函数y=lg

x-1

x+1

．
（1）讨论该函数的奇偶性；
（2）分析该函数的单调性；
（3）求该函数在x∈[2，4]的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求得函数定义域，看是否关于原点对称，再研究f（-x）与f（x）的关系，根据函数奇偶性的定义即可得到结论．
（2）根据函数y=lg

x-1

x+1

=lg

x+1-2

x+1

=lg(1-

2

x+1

)，然后，借助于对数函数的单调性即可；
（3）借助于（2），结合该函数的单调性，即可求得函数f（x）在区间[2，4]的值域．

解答： 解：（1）因为

x-1

x+1

＞0，
∴（x-1）（x+1）＞0，
∴x＜-1或x＞1，
∴函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
∵f(-x)=lg

-x-1

-x+1

=lg

x+1

x-1

=lg(

x-1

x+1

)-1=-lg

x-1

x+1

=-f(x)，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
（2）f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上为增函数，证明如下：
先证明f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵函数y=lg

x-1

x+1

=lg

x+1-2

x+1

=lg(1-

2

x+1

)，
任意设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）
=lg(1-

2

x1+1

)-lg(1-

2

x2+1

)，
∵1＜x₁＜x₂，
∴2＜x₁+1＜x₂+1，
∴0＜

1

x2+1

＜

1

x1+1

＜

1

2

，
∴0＜

2

x2+1

＜

2

x1+1

＜1，
∴0＜1-

2

x1+1

＜1-

2

x2+1

＜1，
∴lg(1-

2

x1+1

)＜lg(1-

2

x2+1

)＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，
同理，可得函数f（x）在（-∞，-1）上为增函数，
（3）由（2）知，函数在区间[2，4]上为增函数，
∵f(2)=lg

1

3

，f(4)=lg

3

5

∴函数在区间[2，4]上值域为[lg

1

3

，lg

3

5

]．

点评：本题综合考查函数的单调性及其应用，注意函数的单调性定义应用步骤，注意对数函数的性质运用，属于中档题，难度中等．