Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

an-1

+1，求a₄、a₂₀、a₁₀₀的值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

an-1

+1，可得从第2项起，分子为2，3，5，8，…，通项为

n2-3n+6

2

；分母为1，2，3，5，…，通项为

n2-3n+4

2

，从而可得a_n=1+

2

n2-3n+4

（n≥2），即可求a₄、a₂₀、a₁₀₀的值．

解答： 解：∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

an-1

+1，
∴a₂=2，a₃=

3

2

，a₄=

5

3

，a₅=

8

5

，
从第2项起，分子为2，3，5，8，…，通项为

n2-3n+6

2

；
分母为1，2，3，5，…，通项为

n2-3n+4

2

，
∴a_n=1+

2

n2-3n+4

（n≥2），
∴a₂₀=

273

272

；a₁₀₀=

4853

4852

．

点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．