Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a（a＞2），a n+1=

an2

2(an-1)

，n∈N^*
（1）求证：a n＞2，n∈N*；
（2）求证：a_n+1＜a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由条件可得a_n+1-2=

(an-2)2

2(an-1)

＞0，即可得出结论；
（2）利用作差法，结合a_n＞2，可得a_n+1-a_n＜0，即可证明结论．

解答： 证明：（1）∵a n+1=

an2

2(an-1)

，
∴a_n+1-2=

(an-2)2

2(an-1)

，
∵a₁=a（a＞2），
∴a_n+1-2=

(an-2)2

2(an-1)

，＞0，
∴a_n+1＞2，
∴a_n＞2；
（2）a_n+1-a_n=

an2-2an(an-1)

2(an-1)

=

an(2-an)

2(an-1)

，
∵a_n＞2，
∴

an(2-an)

2(an-1)

＜0，
∴a_n+1-a_n＜0，
∴a_n+1＜a_n．

点评：本题考查数列递推式，考查大小比较，作差法是关键．