Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x-

3

2

）=f（x+

1

2

）恒成立，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则当x∈（-2，0）时，函数f（x）的解析式为（　　）

• A、|x-2|
• B、|x+4|
• C、3-|x+1|
• D、2+|x+1|

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据f（x-

3

2

）=f（x+

1

2

）将x换为x+

1

2

，再将x换为x+1，得到函数的最小正周期为2，由当x∈[2，3]时，f（x）=x，求出x∈[0，1]的解析式，再由f（x）是定义在R上的偶函数，求出x∈[-1，0]的解析式，再将y=f（x），x∈[0，1]的图象向左平移2个单位即得x∈[-2，-1]的图象，合并并用绝对值表示-2＜x＜0的解析式．

解答： 解：∵?x∈R，f（x-

3

2

）=f（x+

1

2

），
∴f（x+1）=f（x-1），f（x+2）=f（x），
即f（x）是最小正周期为2的函数，
令0≤x≤1，则2≤x+2≤3，
∵当x∈[2，3]时，f（x）=x，
∴f（x+2）=x+2，
∴f（x）=x+2，x∈[0，1]，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=-x+2，x∈[-1，0]，
令-2≤x≤-1，则0≤x+2≤1，
∵f（x）=x+2，x∈[0，1]，
∴f（x+2）=x+4，
∴f（x）=x+4，x∈[-2，-1]，
∴当-2＜x＜0时，函数的解析式为：f（x）=3-|x+1|．
故选C．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用，考查解决抽象函数常用的方法：赋值法，正确赋值是解决此类问题的关键．