Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞-x+2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求在某点出的切线方程，关键是求出斜率k，利用导数就可以斜率，再利用点斜式求切线方程．
（Ⅱ）设g（x）=xlnx+x²-2x，则g（x）＞a，只要求出g（x）的最小值就可以．

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=lnx-

2

x

，
∴f′(x)=

1

x

+

2

x2

，
∴k=f′（1）=3，
又∵f（1）=-2，
∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x-y-5=0；

（Ⅱ）由 f（x）＞-x+2，得lnx-

a

x

＞-x+2，
即 a＜xlnx+x²-2x，
设函数g（x）=xlnx+x²-2x，
则 g′（x）=lnx+2x-1，
∵x∈（1，+∞），
∴lnx＞0，2x-1＞0，
∴当x∈（1，+∞）时，g′（x）=lnx+2x-1＞0，
∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=-1，
∵对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞-x+2成立，
∴对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立，
∴a≤-1．

点评：导数再函数应用中，求切线方程就是求再某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．