Question

已知P是边长为2的正方形ABCD内的点，若△PAB，△PBC面积均不大于1，则

AP

•

BP

取值范围是（　　）

• A、（-1，2）
• B、[-1，1]
• C、（0，

  1

  2

  ]
• D、[

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设点P（x，y），由已知条件可得x，y满足的可行域，利用数量积可得要求的问题，进而即可解决．

解答： 解：如右图所示：设点P（x，y）．
∵△PAB，△PBC面积均不大于1，
∴

1

2

×2y≤1，

1

2

×2×（2-x）≤1，0≤x≤2，0≤y≤2．
解得0≤y≤1，1≤x≤2．如左图所示的可行域：
由

AP

•

BP

=（x，y）•（x-2，y）=x（x-2）+y²=（x-1）²+y²-1．
∵d²=（x-1）²+y²表示的是可行域中的任意一点M与E（1，0）的距离的平方，
∴0≤d²≤（

2

）²，∴-1≤d²-1≤1，即-1≤

AP

•

BP

≤1．
故选B．

点评：本题考查了向量的数量积；利用面积和向量的数量积正确得出x，y的取值范围及要解决的问题和充分结合图形是解题的关键．