Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，CD⊥AD，CD=2AB=2AD=2，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：直线BM⊥平面PDC；
（Ⅲ）求直线PD与平面BDM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点N，连结MN，AN，推导出四边形ABMN是平行四边形，从而MB∥AN，由此能证明BM∥平面PAD．
（Ⅱ）推导出CD⊥平面PAD，从而AN⊥CD，再求出AN⊥PD，从而AN⊥平面PDC，由此利用MB∥AN，能证明MB⊥平面PDC．
（Ⅲ）过P作PE⊥DM于E，推导出PE⊥平面BDM，则∠PDE为直线PD与平面BDM所成角，由此能求出直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取PD中点N，连结MN，AN，
∵M为PC的中点，∴MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}CD$，
又AB∥CD，且AB=$\frac{1}{2}CD$，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴MB∥AN，
∵MB?平面PAD，AN?平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∵AN?平面PAD，∴AN⊥CD，
∵△PAD是正三角形，PD中点为N，∴AN⊥PD，
又∵PD∩CD=D，∴AN⊥平面PDC，
∵MB∥AN，∴MB⊥平面PDC．
解：（Ⅲ）过P作PE⊥DM于E，
∵MB⊥平面PDC，MB?平面BDM，
∴平面BDM⊥平面PDC，且平面BDM∩平面PDC=DM，
∴PE⊥平面BDM，
∴DE是PD在平面BDM内的射影，
∴∠PDE为直线PD与平面BDM所成角，
Rt△PDC中，DM=PM=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，PE=$\frac{2{S}_{△PDM}}{DM}$=$\frac{{S}_{△PDC}}{DM}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴Rt△PDE中，sin∠PDE=$\frac{PE}{PD}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直线PD与平面BDM所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查运用意识，是中档题．