Question

13．（Ⅰ）二项式${（\sqrt{x}+\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}（{n∈{N^*}}）$的前三项的系数的和为129，写此展开式中所有有理项和二项式系数最大的项；
（Ⅱ）已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，求下列各式的值．
（1）a₀；
（2）a₁+a₂+a₃+…+a₇；
（3）a₁+a₃+a₅+a₇；
（4）a₀+a₂+a₄+a₆；
（5）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件求得n的值，利用二项展开式的通项公式，可得展开式中所有有理项和二项式系数最大的项．
（Ⅱ）对于${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，分别给x赋值，可得要求式子的值．

解答 解：（Ⅰ）∵二项式${（\sqrt{x}+\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}（{n∈{N^*}}）$的前三项的系数的和为129，
∴${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$•2+${C}_{n}^{2}$•2²=129，求得n=8，故展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^r•${x}^{4-\frac{5r}{6}}$，
令4-$\frac{5r}{6}$为整数，可得r=0，6，故此展开式中所有有理项为：T₁=x⁴，T₇=${C}_{8}^{6}$•x^-1．
二项式系数最大的项为T₅=${C}_{8}^{4}$•${x}^{\frac{2}{3}}$．
（Ⅱ）∵已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，
（1）在已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，令x=0，可得a₀=-1．
（2）在已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，
令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇ =2⁷=128  ①，∴a₁+a₂+a₃+…+a₇ =2⁷+1=129．
（3）在已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，令x=-1，可得a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇ =-4⁷ ②，
把①式减去②式，并除以2，可得 a₁+a₃+a₅+a₇ =$\frac{128{+4}^{7}}{2}$．
（4）把①式加上②式，并除以2，可得a₀+a₂+a₄+a₆=$\frac{128{-4}^{7}}{2}$．
（5）根据${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|即为（3x+1）⁷的展开式中各项系数和，为4⁷．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．