Question

过点P（1，4）作直线l，直线l与x，y的正半轴分别交于A，B两点，O为原点，
（Ⅰ）△ABO的面积为9，求直线l的方程；
（Ⅱ）若△ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由点P设出直线l的方程，求出l与x、y轴的交点坐标，由△的面积求出斜率k的值即可；
（Ⅱ）由△ABO的面积S表达式，用基本不等式求出k的值，即得l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设直线l为：y-4=k（x-1），
即y=kx-k+4（k＜0）；
∴直线l与x轴和y轴的交点坐标分别为：
(1-

4

k

，0)，(0，4-k)；
∴△ABO的面积为：

1

2

(4-k)(1-

4

k

)=9，
解得k=-2或k=-8；
∴直线l为：2x+y-6=0或8x+y-12=0．
（Ⅱ）由（1）知，△ABO的面积为：
S=

1

2

（4-k）（1-

4

k

）=

1

2

（8-k-

16

k

）≥

1

2

（8+8）=8；
当且仅当-k=-

16

k

，即k=-4时，“=”成立，
∴k=-4时，直线l为：4x+y-8=0．

点评：本题考查了平面内直线方程的应用以及基本不等式的应用问题．