Question

已知函数f(x)=loga

1-mx

x-1

是奇函数，（其中a＞1）
（1）求实数m的值；
（2）讨论函数f（x）的增减性；
（3）当x∈(n，a-2

2

)时，f（x）的值域是（1，+∞），求n与a的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）是奇函数，得f（-x）=-f（x）恒成立，求出m的值，再由对数的真数大于0得出m；
（2）由a＞1，利用单调性的定义判定它的单调性并进行证明；
（3）由x∈(n，a-2

2

)时，f（x）的值为（1，+∞），根据函数的单调性确定出n与a的方程，解出n与a的值．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴log_a

1+mx

-x-1

=-log_a

1-mx

x-1

=log_a

x-1

1-mx

，
∴

1+mx

-x-1

=

x-1

1-mx

，
即1-m²x²=1-x²对一切x∈D都成立，
∴m²=1，m=±1，
由于

1-mx

x-1

＞0，∴m=-1；
∴f（x）=log_a

1+x

x-1

，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）当a＞1时，f（x）=log_a

1+x

x-1

，任取x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=log_a

1+x1

x1-1

-log_a

1+x2

x2-1

=log_a（

1+x1

x1-1

•

x2-1

1+x2

）=log_a

x1x2-x1+x2-1

x1x2+x1-x2-1

；
∵x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，
∴

x1x2-x1+x2-1

x1x2+x1-x2-1

＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上单调递减；
又∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，-1）也上单调递减．
（3）∵x∈（n，a-2

2

），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当n≥1时，则1≤n＜a-2

2

，即a＞1+2

2

，
∴f（x）在（n，a-2

2

）上为减函数，值域为（1，+∞），
∴f（a-2

2

）=1，
即

1+a-2 2

a-2 2 -1

=a，
∴a=

2

+3，或a=

2

-1（舍去），且n=1；
2°当n＜1时，则（n，a-2

2

）?（-∞，-1），
∴0＜a＜1，不合题意；
综上，a=

2

+3，n=1．

点评：本题考查了函数的定义域、值域、方程、不等式以及单调性与奇偶性的综合运用，是易错题．