Question

对于函数y=f（x）与y=g（x），在它们的公共定义域内，若f（x）-g（x）随着自变量x的增大而增大，则称函数f（x）相对于函数g（x）是“渐先函数”，下列几组函数中：
①f（x）=x与g（x）=1；
②f（x）=2^x与g（x）=log₂x；
③f（x）=2^x与g（x）=x²；
④f（x）=e^x与g（x）=log₂x
函数f（x）相对于函数g（x）是“渐先函数”的有（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①③
• D、①④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：令h（x）=f（x）-g（x），根据“渐先函数”的概念对①③④四个选项逐一分析、判断即可得到答案．

解答： 解：令h（x）=f（x）-g（x），
对于①，∵h（x）=f（x）-g（x）=x-1为R上的增函数，故函数f（x）相对于函数g（x）是“渐先函数”，①正确；
对于②，∵h（x）=2^x-log₂x，
∴h（

1

2

）=

2

+1，h（1）=2-0=2，而h（

1

2

）＞h（1），故函数h（x）不是增函数，即f（x）相对于函数g（x）不是“渐先函数”，②不正确；
对于③，h（x）=2^x-x²；h（2）=2²-2²=0，h（4）=2⁴-4²=0，即h（2）=h（4），故函数h（x）不是增函数，即f（x）相对于函数g（x）不是“渐先函数”，③不正确；
对于④，f（x）=e^x，g（x）=log₂x，其图象如下：

由图可知，函数f（x）相对于函数g（x）是“渐先函数”，④正确；
故选：D．

点评：本题考查命题的判断应用，对新定义“渐先函数”概念的理解与应用是关键，也是难点，考查分析、作图及运算求解能力，是难题．