Question

已知函数f（x）=

2

x-1

（1）求证：函数在（1，+∞）上是减函数；
（2）求函数在x∈[3，5]的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）定义法：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，作差得出f（x₁）-f（x₂），变形可判f（x₁）-f（x₂）的符号，可得函数的单调性．
（2）由第（1）问，函数在[3，5]上递减，代入端点值即可解得．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数上是减函数．
（2）由第（1）问，函数在[3，5]上递减，
当x=3时，函数有最大值1，当x=5时，函数有最小值

1

2

．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，涉及函数单调性证明的定义法和式子变形的能力，属基础题．