Question

已知P是椭圆上一定点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，若∠PF₁F₂=60°，PF₂=

3

PF₁，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|PF₁|=m，则|PF₂|=

3

m，由椭圆的定义可得

3

m+m=2a，利用余弦定理可得：(

3

m)2=（2c）²+m²-2×2c•mcos60°，联立解出即可．

解答： 解：设|PF₁|=m，则|PF₂|=

3

m，
由椭圆的定义可得

3

m+m=2a，∴m=a(

3

-1)．
利用余弦定理可得：(

3

m)2=（2c）²+m²-2×2c•mcos60°，
化为2e2-(

3

-1)e-(

3

-1)2=0，
又0＜e＜1，∴e=

3

-1．
故答案为：

3

-1．

点评：本题考查了椭圆的定义及其性质、余弦定理，属于基础题．