Question

【题目】已知函数（为实常数）．

（Ⅰ）若为的极值点，求实数的取值范围．

（Ⅱ）讨论函数在上的单调性．

（Ⅲ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）．

【解析】试题分析：(1) ，由题， 为的极值点，

可得，即．

(2) ， ，分， ， 三种情况讨论函数的单调性即可.

(3)结合(2)的单调性,分别求和 以及时a的范围,综合取并集可得.

试题解析：（Ⅰ） ，

∵为的极值点，

∴， ．

（Ⅱ）∵， ，

当，即时， ， ，

此时， 在上单调增，

当即时， 时，

， 时， ，

故在上单调递减，在上单调递增，

当即时， ， ，

此时， 在上单调递减．

（Ⅲ）当时，∵在上单调递增，

∴的最小值为，

∴，

当时， 在上单调递减，在上单调递增，

∴的最小值为，

∵，

∴， ，

∴，

∴．

当时， 在上单调递减，

∴的最小值为，

∵， ，

∴，

综上可得： ．