题目内容
【题目】已知函数,
且
.
(1)若曲线在点
处的切线垂直于
轴,求实数
的值;
(2)当时,求函数
的最小值;
【答案】(1) (2) 当
时,函数
的最小值为
;当
时,函数
的最小值为
.
【解析】试题分析:(1)欲求实数a的值,只须求出切线斜率的值列出关于a的等式即可,故先利用导数求出在x=2处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,最后利用斜率为0即可求得a;
(2)求出函数的导数,讨论a的取值范围,再根据导数求函数的单调性,从而可求出函数的最小值.
试题解析:
由题意得:
;
(1) 由曲线在点
处的切线垂直于
轴,结合导数的几何意义得
,即
,解得
;
(2) 设,则只需求当
时,函数
的最小值.
令,解得
或
,而
,即
.
从而函数在
和
上单调递增,在
上单调递减.
当时,即
时,函数
在
上为减函数,
;
当,即
时,函数
的极小值即为其在区间
上的最小值,
.
综上可知,当时,函数
的最小值为
;当
时,函数
的最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年来许多地市空气污染较为严重,现随机抽取某市一年(365天)内100天的空气质量指数(
)的监测数据,统计结果如表:
| ||||||
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
天数 | 4 | 13 | 18 | 30 | 20 | 15 |
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为(单位:元),
指数为
.当
在区间
内时,对企业没有造成经济损失;当
在区间
内时,对企业造成的经济损失与
成直线模型(当
指数为150时,造成的经济损失为1100元,当
指数为200时,造成的经济损失为1400元);当
指数大于300时,造成的经济损失为2000元.
(1)试写出的表达式;
(2)试估计在本年内随机抽取1天,该天经济损失大于1100且不超过1700元的概率;
(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,这30天中有8天为严重污染,完成列联表,并判断是否有
的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关?
非严重污染 | 严重污染 | 合计 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合计 |
附:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中